Nombres dénombrables (et autres morceaux de poésie)

SCIENCE AU QUOTIDIEN / «C’est une question improbable, mais elle me laisse perplexe… Supposons que nous ayons une route d'une longueur infinie dont les voies sont séparées par des lignes jaunes discontinues. Imaginons aussi que leur espacement n’est pas égal : pour l’une des deux routes, il y aurait 1 trait à tous les 2 mètres alors que pour l’autre, ce serait 1 trait à chaque mètre. Laquelle des deux routes contiendrait le plus de traits, sachant qu'elles ont toutes les deux une longueur infinie ?», demande Benoît Rouleau, de Québec.

Confronté à un problème comme celui-là, à peu près tout le monde est d’emblée tenté de penser que l’une des deux routes compte deux fois plus de traits que l’autre. Et c’est tout à fait compréhensible. Après tout, sur chaque tranche de 1000 mètres, se dit-on, l’une compte 500 traits (1 à tous les 2 m) alors que l’autre en a 1000 (1 par mètre), et comme c’est vrai pour toutes les tranches de 1000 mètres jusqu’à l’infini, il s’ensuit forcément que la seconde a deux fois plus de traits que la première, non ?

Eh bien non, dit le mathématicien de l’Université Laval Jean-Marie de Koninck : en fait, les deux routes ont autant de traits.

«Ces deux routes-là sont des ensembles infinis qu’on appelle «dénombrables». Dénombrable, ça veut tout simplement dire qu’on a une méthode pour énumérer tous les éléments. Par exemple, si tu vas dans une soirée et que tu dis «Nous étions 12 hier soir», mais que quelqu’un te demande comment tu le sais, tu peux énumérer tous les invités : moi, Claude, Paul, etc. Alors tu fais ce qu’on appelle une bijection entre les personnes présentes et les nombres de 1 à n.» Essentiellement, cela signifie que l’on attribue le nombre 1 à un invité, puis le nombre 2 au second invité, et ainsi de suite jusqu’à 12.

Il en va de même avec les lignes jaunes des routes infinies, et les ensembles infinis dénombrables comme ceux-là ne sont pas plus grands l’un que l’autre, dit M. de Koninck. Évidemment, si l’on ne tient compte que d’un bout de route de 1000 mètres, alors ce n’est plus vrai. Mais pour des routes infinies, oui.

Une bonne façon de se représenter le problème est ce que les mathématiciens appellent le paradoxe de l’hôtel de Hilbert, du nom de son inventeur, David Hilbert, l’un des plus grands mathématiciens du XXe siècle. Il consiste à imaginer un grand hôtel avec un nombre infini de chambres, mais qui seraient toutes occupées. Si un nouveau client se présente, pourra-t-on trouver à le loger ? Notre expérience quotidienne des choses nous porte à croire que non puisque les chambres sont déjà toutes prises, mais c’est simplement parce que le cerveau humain n’est pas souvent (presque jamais, en fait) confronté à la notion d’infini.

Supposons en effet que l’on déplace le client de la chambre 1 dans la chambre 2, que l’on «décale» simultanément celui de la chambre 2 vers la 3, et ainsi de suite jusqu’à l’infini. Au bout de l’opération, la chambre 1 est libre et le nouveau client peut la prendre même si toutes les chambres étaient prises au départ. Comme le montre cet exemple, la notion d’infini peut mener à ce qui nous apparaît intuitivement  être des aberrations, mais c’est comme ça.

Il existe toutes sortes de déclinaisons de ce «paradoxe», mais il y en a une qui peut bien illustrer l’égalité du nombre de lignes entre nos deux routes. Le problème que pose M. Rouleau revient essentiellement à se demander s’il y a autant de nombres impairs (1, 3, 5, 7...) que d’entiers naturels (1, 2, 3, 4, 5, 6...), dit M. de Koninck. D’instinct, on se dit qu’il doit forcément y avoir deux fois plus d’entiers naturels que de nombres impairs, mais ce n’est pas le cas.

Retournons dans l’hôtel de Hilbert. Il y a un nombre infini de chambres, qui sont toutes occupées. Mais imaginons que cette fois-ci, nous n’avons pas affaire à un nouveau client qui arrive seul, mais un nombre infini de nouveaux clients qu’il faut accommoder. Est-ce possible?

Oui. Supposons que l’on déplace chaque client vers une chambre dont le numéro est le double de sa chambre actuelle. De cette manière, le locataire de la chambre 1 ira à la chambre 2, celui de la chambre 2 ira dans la chambre 4, celui de la chambre 3 finira dans la chambre 6, et ainsi de suite. Le résultat final est que toutes les chambres de nombre impair seront libres, et comme il y a une infinité de nombres impairs, alors l’opération nous donne assez de chambres pour accueillir le nombre infini de nouveaux clients.

C’est très contre-intuitif, mais ça marche : nous avions au départ de nouveaux invités que l’on pouvait numéroter de 1 jusqu’à l’infini, ce qui comprend tous les entiers naturels. Et même si seulement 1 entier sur 2 est impair, nous les avons tous logés en libérant uniquement les chambres impaires, parce qu’il y a une infinité de nombres impairs.

C’est par des raisonnements comme celui-là que les mathématiciens peuvent dire qu’il y a autant de nombres impairs que de nombres entiers. Et c’est pour cette raison que les deux routes imaginées par M. Rouleau ont un nombre égal de lignes jaunes.

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«Je me suis toujours fié au Soleil pour m’orienter lorsque je suis dans des lieux inconnus et sans autre point de repère : est au levé, sud à midi et ouest au coucher. Or il semble que cette règle ne vaille pas partout — pas chez moi, en tout cas. J’ai réalisé récemment en utilisant un boussole que le Soleil se lève à ce temps-ci de l'année [en juillet] au NNE et qu’il n’arrive à l'est que bien plus tard en avant-midi. Comment se fait-il?» demande René Magnan, de Gatineau.

Ce qui «crée» le mouvement apparent du Soleil dans le ciel, c’est la rotation de la Terre sur elle-même. Cette rotation est réglée comme une horloge, prenant invariablement 24 heures à se compléter, ce qui implique que le Soleil se déplace toujours à la même vitesse dans le ciel. Alors s’il se levait et se couchait toujours aux mêmes points, il se trouverait à parcourir toujours le même trajet à la même vitesse, et la durée du jour serait invariable : 12 heures d’ensoleillement par jour, hiver comme été.

Or ce n’est pas vrai, évidemment : les jours sont bien plus longs en été. Alors comment est-ce possible ?

C’est simplement parce que l’inclinaison de la Terre par rapport au Soleil change selon la saison. En été, le pôle Nord est pour ainsi dire «penché» vers le Soleil, si bien que celui-ci ne se lève pas exactement à l’est ni ne se couche exactement à l’ouest, mais plus au nord. Comme il passe toujours par le sud vers midi, cela allonge sa trajectoire apparente dans le ciel — d’où les journées plus longues. Et en hiver, c’est l’inverse.