Véritable mer intérieure du Québec, le lac Saint-Jean est bien assez grand pour que le soleil «se couche dedans».

Géométrie du lac Saint-Jean

CHRONIQUE / «L’été, au chalet que nous avons au lac Saint-Jean, nous assistons à de merveilleux couchers de soleil qui se noient dans le lac. Alors je me demande: quelle doit être la dimension d’un lac pour voir le soleil se coucher dans l’eau? J’ai souvenir que la traversée à la nage du Lac-Saint-Jean entre Péribonka et Roberval est d’une distance d’environ 32 km, mais existe-t-il une règle pour déterminer la distance en fonction d’un indice de courbure de la Terre? Et comme cette courbure n’est pas la même partout sur la planète, est-ce que cela change quelque chose?» demande Bernard Tremblay, de Sainte-Foy.

Il est vrai que la Terre n’est pas une sphère parfaite, étant légèrement «aplatie» aux pôles, mais la différence n’est pas énorme: son rayon à l’équateur est de 6378 kilomètres, alors qu’il est de 6357 kilomètres aux pôles. Pour le degré de précision dont on a besoin ici, cet écart de 0,3% peut être complètement ignoré, et je ferai pour la suite comme si la planète était sphérique.

Maintenant, quand on songe à tout cela en termes de «courbures» en trois dimensions comme semble le faire M. Tremblay, le problème peut sembler horriblement compliqué. Et il est vrai que cela pourrait l’être si on tentait de le résoudre en passant par là — ce que les mathématiciens appellent géométrie non euclidienne. Mais heureusement, il existe une manière infiniment plus simple de procéder. En fait, la seule chose dont on a besoin, c’est de ce bon vieux théorème de Pythagore que tout le monde apprend au secondaire.

Imaginons, en effet, une ligne qui partirait du centre du cercle et qui se rendrait jusqu’au pied de quelqu’un, comme le montre la figure ci-contre. Figurons-nous ensuite une ligne qui partirait des yeux de notre observateur et qui se rendrait jusqu’à l’horizon, soit le point le plus éloigné atteignable par une ligne droite (ce qui se trouve au-delà de ça est «caché» par la courbure de la Terre). Et ajoutons-y enfin une troisième ligne, qui part de cet horizon et qui retourne au centre de la planète.

Qu’est-ce qu’on obtient, en bout de ligne? Rien de plus compliqué qu’un triangle rectangle, dont on connaît déjà la longueur de deux côtés: l’un est égal au rayon de la Terre, et l’autre à ce même rayon plus la taille de l’observateur. Or le théorème de Pythagore — le fameux a2 = b2 + c2 — permet justement de trouver la longueur d’un triangle, très facilement d’ailleurs, si l’on connaît celle des deux autres côtés.

Ceux qui veulent jeter un œil au petit calcul qu’il faut faire peuvent se référer au calcul montré plus bas. Mais pour les autres, il n’y a qu’à savoir ceci: plus une personne est grande (ou est juchée sur une promontoire élevé), plus son horizon est éloigné. Dans l’exemple que j’ai calculé ci-contre, un gaillard mesurant 2 mètres (6 pieds, 6 pouces) qui se tiendrait sur une plage juste au bord du lac Saint-Jean verrait 5 kilomètres devant lui. Et cette mer intérieure du Québec est bien assez grande (24 kilomètres par 44) pour que le soleil «se couche dedans», pour ainsi dire.

Fait intéressant, cette histoire de hauteur signifie que si notre gaillard a une conjointe qui mesure 1,50 mètre, alors, aux yeux de celle-ci, l’horizon se trouve à 4,4 kilomètres. Et si le couple a un enfant qui ne fait que 1 mètre, pour lui l’horizon n’est qu’à 3,6 kilomètres.

Évidemment, il existe autour du lac Saint-Jean de petits promontoires relativement proches de l’eau — rien de bien haut puisque le lac est entouré de basses terres, mais cela peut donner 10-15 mètres d’élévation par rapport au niveau de l’eau. Et à 15 mètres du sol, l’horizon se trouve à 13,8 kilomètres, pour peu que l’air soit suffisamment clair et sec pour que l’on voit aussi loin — mais ça, c’est une autre histoire.

Source: Matthew Conroy, «How far away is the horizon», Math 120, s.d., University of Washington, goo.gl/YgsrUy

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Calculer la distance de l'horizon

Le théorème de Pythagore nous dit que la longueur de l’hypoténuse a (le côté le plus long) d’un triangle rectangle est égale à la racine carrée de la somme des carrés des deux autres côtés (b et c), donc a2 = b2 + c2. Dans notre exemple, l’hypoténuse correspond au rayon de la Terre, soit 6 378 137 mètres, plus la taille de l’observateur — supposons qu’il s’agit d’un gaillard de 2 mètres, ce qui nous donne un côté a de 6 378 139 m. Le côté b équivaut pour sa part simplement au rayon terrestre, et nous cherchons bien sûr le côté c, qui est la distance entre l’observateur et l’horizon.

En partant de :

a2 = b2 + c2

on peut isoler c comme ceci :

c2 = a2 – b2

c = √ (a2 – b2)

c = √ (6 378 1392 – 6 378 1372)

c = √25 512 552

c = 5051 mètres.

Donc l’horizon pour un «grand jack» mesurant 2 mètres se trouve à un poil dépassé 5 km.